Lös 40+3n=n^2

$$40 + 3 n = n ^ { 2 }$$

Lös ut n

$$n=-5$$

$$n=8$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera n^{2} från båda led.

$$40+3n-n^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-n^{2}+3n+40=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -n^{2}+an+bn+40. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=3 ab=-40=-40$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

Lösningen är det par som ger Summa 3.

$$a=8 b=-5$$

Skriv om -n^{2}+3n+40 som \left(-n^{2}+8n\right)+\left(-5n+40\right).

$$\left(-n^{2}+8n\right)+\left(-5n+40\right)$$

Utfaktor -n i den första och den -5 i den andra gruppen.

$$-n\left(n-8\right)-5\left(n-8\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen n-8 genom att använda distributivitet.

$$\left(n-8\right)\left(-n-5\right)$$

Lös n-8=0 och -n-5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=8 n=-5$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera n^{2} från båda led.

$$40+3n-n^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-n^{2}+3n+40=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 3 och c med 40 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 40}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 40}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 40}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 40.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 9 till 160.

$$n=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$n=\frac{-3±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$n=\frac{-3±13}{-2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-3±13}{-2} när ± är plus. Addera -3 till 13.

$$n=\frac{10}{-2}$$

Dela 10 med -2.

$$n=-5$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-3±13}{-2} när ± är minus. Subtrahera 13 från -3.

$$n=-\frac{16}{-2}$$

Dela -16 med -2.

$$n=8$$

Ekvationen har lösts.

$$n=-5 n=8$$

Steg för kvadratkomplettering

Subtrahera n^{2} från båda led.

$$40+3n-n^{2}=0$$

Subtrahera 40 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$3n-n^{2}=-40$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+3n=-40$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-n^{2}+3n}{-1}=-\frac{40}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$n^{2}+\frac{3}{-1}n=-\frac{40}{-1}$$

Dela 3 med -1.

$$n^{2}-3n=-\frac{40}{-1}$$

Dela -40 med -1.

$$n^{2}-3n=40$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-3n+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=40+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=40+\frac{9}{4}$$

Addera 40 till \frac{9}{4}.

$$n^{2}-3n+\frac{9}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktorisera n^{2}-3n+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{3}{2}=\frac{13}{2} n-\frac{3}{2}=-\frac{13}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$n=8 n=-5$$