Lös 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -5 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Addera 25 till 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} när ± är plus. Addera 5 till \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{41} från 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Dividera -\frac{5}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Addera \frac{1}{4} till \frac{25}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Addera \frac{5}{8} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$