Lös 4x^2-2x-18=0

$$4 x ^ { 2 } - 2 x - 18 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 1}{4} \approx 2,386000936$$

$$x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}\approx -1,886000936$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-2x-18=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -2 och c med -18 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -18.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+288}}{2\times 4}$$

Addera 4 till 288.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{292}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 292.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{73}}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8} när ± är plus. Addera 2 till 2\sqrt{73}.

$$x=\frac{2\sqrt{73}+2}{8}$$

Dela 2+2\sqrt{73} med 8.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{73}}{8} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{73} från 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{73}}{8}$$

Dela 2-2\sqrt{73} med 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-18=0$$

Addera 18 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-2x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Subtraktion av -18 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-2x=-\left(-18\right)$$

Subtrahera -18 från 0.

$$4x^{2}-2x=18$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{18}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{18}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{18}{4}$$

Minska bråktalet \frac{18}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{9}{2}$$

Dividera -\frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{9}{2}+\frac{1}{16}$$

Addera \frac{9}{2} till \frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{73}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{73}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{73}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{73}}{4}$$

Addera \frac{1}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{73}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{73}}{4}$$