Lös 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 28 och c med 53 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Kvadrera 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Addera 784 till -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-28±8i}{8} när ± är plus. Addera -28 till 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Dela -28+8i med 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-28±8i}{8} när ± är minus. Subtrahera 8i från -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Dela -28-8i med 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Subtrahera 53 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Subtraktion av 53 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Dela 28 med 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Dividera 7, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{7}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{7}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{7}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Addera -\frac{53}{4} till \frac{49}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Faktorisera x^{2}+7x+\frac{49}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Förenkla.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Subtrahera \frac{7}{2} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$