Lös 4x^2+24x+32=0

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Lös ut x

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx+8. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 8.

$$1,8 2,4$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+8=9 2+4=6$$

Lösningen är det par som ger Summa 6.

$$a=2 b=4$$

Skriv om x^{2}+6x+8 som \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Utfaktor x i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x+2 genom att använda distributivitet.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Lös x+2=0 och x+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=-2 x=-4$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 24 och c med 32 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Kvadrera 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Addera 576 till -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 64.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-24±8}{8} när ± är plus. Addera -24 till 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dela -16 med 8.

$$x=-2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-24±8}{8} när ± är minus. Subtrahera 8 från -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Dela -32 med 8.

$$x=-4$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-2 x=-4$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Subtrahera 32 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Subtraktion av 32 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Dela 24 med 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Dela -32 med 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Dividera 6, koefficienten för termen x, med 2 för att få 3. Addera sedan kvadraten av 3 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

Kvadrera 3.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Addera -8 till 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Faktorisera x^{2}+6x+9. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Förenkla.

$$x+3=1 x+3=-1$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$x=-2 x=-4$$