Lös 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 21 från båda led.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Subtrahera 21 från 1 för att få -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Dividera båda led med 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2x^{2}+ax+bx-10. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 1.

$$a=-4 b=5$$

Skriv om 2x^{2}+x-10 som \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-2 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Lös x-2=0 och 2x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Subtrahera 21 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Subtraktion av 21 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Subtrahera 21 från 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med 2 och c med -20 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Addera 4 till 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±18}{8} när ± är plus. Addera -2 till 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Dela 16 med 8.

$$x=2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±18}{8} när ± är minus. Subtrahera 18 från -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-20}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Subtrahera 1 från 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Minska bråktalet \frac{2}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Dela 20 med 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Dividera \frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Addera 5 till \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Subtrahera \frac{1}{4} från båda ekvationsled.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$