Lös 4q^2-5q-21

$$4 q ^ { 2 } - 5 q - 21$$

Faktorisera

$$\left(q-3\right)\left(4q+7\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 4q^{2}+aq+bq-21. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-5 ab=4\left(-21\right)=-84$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Lösningen är det par som ger Summa -5.

$$a=-12 b=7$$

Skriv om 4q^{2}-5q-21 som \left(4q^{2}-12q\right)+\left(7q-21\right).

$$\left(4q^{2}-12q\right)+\left(7q-21\right)$$

Utfaktor 4q i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$4q\left(q-3\right)+7\left(q-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen q-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(q-3\right)\left(4q+7\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$4q^{2}-5q-21=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -5.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -21.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 4}$$

Addera 25 till 336.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 361.

$$q=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 4}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$q=\frac{5±19}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$q=\frac{5±19}{8}$$

Lös nu ekvationen q=\frac{5±19}{8} när ± är plus. Addera 5 till 19.

$$q=\frac{24}{8}$$

Dela 24 med 8.

$$q=3$$

Lös nu ekvationen q=\frac{5±19}{8} när ± är minus. Subtrahera 19 från 5.

$$q=-\frac{14}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-14}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$q=-\frac{7}{4}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med 3 och x_{2} med -\frac{7}{4}.

$$4q^{2}-5q-21=4\left(q-3\right)\left(q-\left(-\frac{7}{4}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$4q^{2}-5q-21=4\left(q-3\right)\left(q+\frac{7}{4}\right)$$

Addera \frac{7}{4} till q genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$4q^{2}-5q-21=4\left(q-3\right)\times \frac{4q+7}{4}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 4 i 4 och 4.

$$4q^{2}-5q-21=\left(q-3\right)\left(4q+7\right)$$

Beräkna

$$\left(q-3\right)\left(4q+7\right)$$