Lös 4x^2-5x-6=15

$$4 { x }^{ 2 } -5x-6=15$$

Lös ut x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 15 från båda led.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Subtrahera 15 från -6 för att få -21.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx-21. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-5 ab=4\left(-21\right)=-84$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Lösningen är det par som ger Summa -5.

$$a=-12 b=7$$

Skriv om 4x^{2}-5x-21 som \left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(7x-21\right)$$

Utfaktor 4x i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$4x\left(x-3\right)+7\left(x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Lös x-3=0 och 4x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$4x^{2}-5x-6-15=15-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-5x-6-15=0$$

Subtrahera 15 från -6.

$$4x^{2}-5x-21=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 4, b med -5 och c med -21 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrera -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -4 med 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-21\right)}}{2\times 4}$$

Multiplicera -16 med -21.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 4}$$

Addera 25 till 336.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 4}$$

Dra kvadratroten ur 361.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 4}$$

Motsatsen till -5 är 5.

$$x=\frac{5±19}{2\times 4}$$

Multiplicera 2 med 4.

$$x=\frac{5±19}{8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±19}{8} när ± är plus. Addera 5 till 19.

$$x=\frac{24}{8}$$

Dela 24 med 8.

$$x=3$$

Lös nu ekvationen x=\frac{5±19}{8} när ± är minus. Subtrahera 19 från 5.

$$x=-\frac{14}{8}$$

Minska bråktalet \frac{-14}{8} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-6=15$$

Addera 6 till båda ekvationsled.

$$4x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=15-\left(-6\right)$$

Subtraktion av -6 från sig självt ger 0 som resultat.

$$4x^{2}-5x=15-\left(-6\right)$$

Subtrahera -6 från 15.

$$4x^{2}-5x=21$$

Dividera båda led med 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{21}{4}$$

Division med 4 tar ut multiplikationen med 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{21}{4}$$

Dividera -\frac{5}{4}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{8}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{8} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{21}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{8} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{21}{4}+\frac{25}{64}$$

Addera \frac{21}{4} till \frac{25}{64} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{361}{64}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{361}{64}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{64}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{19}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{19}{8}$$

Addera \frac{5}{8} till båda ekvationsled.

$$x=3 x=-\frac{7}{4}$$