Lös 3z^2-21z-24

$$3 z ^ { 2 } - 21 z - 24$$

Faktorisera

$$3\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$

Lösningssteg

Bryt ut 3.

$$3\left(z^{2}-7z-8\right)$$

Överväg z^{2}-7z-8. Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som z^{2}+az+bz-8. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-7 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -8.

$$1,-8 2,-4$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -7.

$$a=-8 b=1$$

Skriv om z^{2}-7z-8 som \left(z^{2}-8z\right)+\left(z-8\right).

$$\left(z^{2}-8z\right)+\left(z-8\right)$$

Bryt ut z i z^{2}-8z.

$$z\left(z-8\right)+z-8$$

Bryt ut den gemensamma termen z-8 genom att använda distributivitet.

$$\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$

Skriv om det fullständiga faktoriserade uttrycket.

$$3\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}-21z-24=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera -21.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -24.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 3}$$

Addera 441 till 288.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 729.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 3}$$

Motsatsen till -21 är 21.

$$z=\frac{21±27}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$z=\frac{21±27}{6}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{21±27}{6} när ± är plus. Addera 21 till 27.

$$z=\frac{48}{6}$$

Dela 48 med 6.

$$z=8$$

Lös nu ekvationen z=\frac{21±27}{6} när ± är minus. Subtrahera 27 från 21.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Dela -6 med 6.

$$z=-1$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med 8 och x_{2} med -1.

$$3z^{2}-21z-24=3\left(z-8\right)\left(z-\left(-1\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$3z^{2}-21z-24=3\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$

Beräkna

$$3\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$