Lös 3z^2+16z+20

$$3 z ^ { 2 } + 16 z + 20$$

Faktorisera

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 3z^{2}+az+bz+20. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=16 ab=3\times 20=60$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Lösningen är det par som ger Summa 16.

$$a=6 b=10$$

Skriv om 3z^{2}+16z+20 som \left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right).

$$\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right)$$

Utfaktor 3z i den första och den 10 i den andra gruppen.

$$3z\left(z+2\right)+10\left(z+2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen z+2 genom att använda distributivitet.

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+16z+20=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Kvadrera 16.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 20.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Addera 256 till -240.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 16.

$$z=\frac{-16±4}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$z=\frac{-16±4}{6}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-16±4}{6} när ± är plus. Addera -16 till 4.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Dela -12 med 6.

$$z=-2$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-16±4}{6} när ± är minus. Subtrahera 4 från -16.

$$z=-\frac{20}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-20}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$z=-\frac{10}{3}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med -2 och x_{2} med -\frac{10}{3}.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

Addera \frac{10}{3} till z genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\times \frac{3z+10}{3}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 3 i 3 och 3.

$$3z^{2}+16z+20=\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Beräkna

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$