Lös 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Lös ut x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$3x-5y=4$$

Addera 5y till båda ekvationsled.

$$3x=5y+4$$

Dividera båda led med 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Multiplicera \frac{1}{3} med 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Ersätt x med \frac{5y+4}{3} i den andra ekvationen, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Multiplicera 9 med \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Addera 15y till -2y.

$$13y+12=7$$

Subtrahera 12 från båda ekvationsled.

$$13y=-5$$

Dividera båda led med 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Ersätt y med -\frac{5}{13} i x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Multiplicera \frac{5}{3} med -\frac{5}{13} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Addera \frac{4}{3} till -\frac{25}{39} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{9}{13}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Gör 3x och 9x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 9 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Förenkla.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Subtrahera 27x-6y=21 från 27x-45y=36 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Addera 27x till -27x. Termerna 27x och -27x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-45y+6y=36-21$$

Addera -45y till 6y.

$$-39y=36-21$$

Addera 36 till -21.

$$-39y=15$$

Dividera båda led med -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Ersätt y med -\frac{5}{13} i 9x-2y=7. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Multiplicera -2 med -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Subtrahera \frac{10}{13} från båda ekvationsled.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Dividera båda led med 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$