Lös 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Faktorisera

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Lösningssteg

Multiplicera och slå ihop lika termer.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Lös uttrycket genom att matcha formeln där det är lika med 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Av rationella rot Binomialsatsen är alla rationella rötter till en polynom i form \frac{p}{q}, där p delar upp konstanten -16 och q delar upp den inledande koefficienten 3. Visa en lista över alla kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Hitta en sådan rot genom att testa alla heltalsvärden, med början från det minsta efter absolut värde. Om inga heltalsrötter hittas kan du försöka med bråktal.

$$x=-4$$

Enligt faktor Binomialsatsen är x-k faktorn för varje rot k. Dividera 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 med x+4 för att få 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Faktorera resultatet genom att lösa ekvationen där det är lika med 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Av rationella rot Binomialsatsen är alla rationella rötter till en polynom i form \frac{p}{q}, där p delar upp konstanten -4 och q delar upp den inledande koefficienten 3. Visa en lista över alla kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Hitta en sådan rot genom att testa alla heltalsvärden, med början från det minsta efter absolut värde. Om inga heltalsrötter hittas kan du försöka med bråktal.

$$x=-4$$

Enligt faktor Binomialsatsen är x-k faktorn för varje rot k. Dividera 3x^{3}+12x^{2}-x-4 med x+4 för att få 3x^{2}-1. Faktorera resultatet genom att lösa ekvationen där det är lika med 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 3 med a, 0 med b och -1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Lös ekvationen 3x^{2}-1=0 när ± är plus och när ± är minus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket med hjälp av de erhållna rötterna. Polynom 3x^{2}-1 är inte faktor eftersom den inte har några rationella rötter.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Beräkna

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Lösningssteg

Slå ihop 48x^{2} och -x^{2} för att få 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$