Lös 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1,166666667-0,552770798i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -7 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrera -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Addera 49 till -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} när ± är plus. Addera 7 till i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{11} från 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Dividera -\frac{7}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Addera -\frac{5}{3} till \frac{49}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Addera \frac{7}{6} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$