Lös 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx-11. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -33.

$$-1,33 -3,11$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Lösningen är det par som ger Summa 8.

$$a=-3 b=11$$

Skriv om 3x^{2}+8x-11 som \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 11 i den andra gruppen.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Lös x-1=0 och 3x+11=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 8 och c med -11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Addera 64 till 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-8±14}{6} när ± är plus. Addera -8 till 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Dela 6 med 6.

$$x=1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-8±14}{6} när ± är minus. Subtrahera 14 från -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-22}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Addera 11 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Subtraktion av -11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Subtrahera -11 från 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Dividera \frac{8}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{4}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{4}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{4}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Addera \frac{11}{3} till \frac{16}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Subtrahera \frac{4}{3} från båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$