Lös 3x^2+4x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 3x^{2}+ax+bx+1. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Det enda sådana paret är systemlösningen.

$$a=1 b=3$$

Skriv om 3x^{2}+4x+1 som \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Bryt ut x i 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Lös 3x+1=0 och x+1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 4 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrera 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Addera 16 till -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±2}{6} när ± är plus. Addera -4 till 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Minska bråktalet \frac{-2}{6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-4±2}{6} när ± är minus. Subtrahera 2 från -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Dela -6 med 6.

$$x=-1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+4x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividera \frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Addera -\frac{1}{3} till \frac{4}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Subtrahera \frac{2}{3} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$