Lös 3x^2+3x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 3 x + 9 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0,5-1,658312395i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 3 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-108}}{2\times 3}$$

Addera 9 till -108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-99}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -99.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} när ± är plus. Addera -3 till 3i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{11}i}{6}$$

Dela -3+3i\sqrt{11} med 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6} när ± är minus. Subtrahera 3i\sqrt{11} från -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i-3}{6}$$

Dela -3-3i\sqrt{11} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+3x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+3x=-9$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Dela 3 med 3.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{3}$$

Dela -9 med 3.

$$x^{2}+x=-3$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Addera -3 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$