Lös 3x^2+15x-3=0

$$3 x ^ { 2 } + 15 x - 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{29}-5}{2}\approx 0,192582404$$

$$x=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}\approx -5,192582404$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+15x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 15 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 15.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 3\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225-12\left(-3\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -3.

$$x=\frac{-15±\sqrt{225+36}}{2\times 3}$$

Addera 225 till 36.

$$x=\frac{-15±\sqrt{261}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 261.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{29}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-15±3\sqrt{29}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-15±3\sqrt{29}}{6} när ± är plus. Addera -15 till 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}-15}{6}$$

Dela -15+3\sqrt{29} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{29}-5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-15±3\sqrt{29}}{6} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{29} från -15.

$$x=\frac{-3\sqrt{29}-15}{6}$$

Dela -15-3\sqrt{29} med 6.

$$x=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{29}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+15x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$3x^{2}+15x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+15x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$3x^{2}+15x=3$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+15x}{3}=\frac{3}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{15}{3}x=\frac{3}{3}$$

Dela 15 med 3.

$$x^{2}+5x=\frac{3}{3}$$

Dela 3 med 3.

$$x^{2}+5x=1$$

Dividera 5, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=1+\frac{25}{4}$$

Addera 1 till \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{29}{4}$$

Faktorisera x^{2}+5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

Subtrahera \frac{5}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{29}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$