Lös 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Lös ut r

$$r=3$$

$$r=5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lägg till 45 på båda sidorna.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Dividera båda led med 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som r^{2}+ar+br+15. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Lösningen är det par som ger Summa -8.

$$a=-5 b=-3$$

Skriv om r^{2}-8r+15 som \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Utfaktor r i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen r-5 genom att använda distributivitet.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Lös r-5=0 och r-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$r=5 r=3$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Addera 45 till båda ekvationsled.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Subtraktion av -45 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Subtrahera -45 från 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -24 och c med 45 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Kvadrera -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Addera 576 till -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Motsatsen till -24 är 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{24±6}{6} när ± är plus. Addera 24 till 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Dela 30 med 6.

$$r=5$$

Lös nu ekvationen r=\frac{24±6}{6} när ± är minus. Subtrahera 6 från 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Dela 18 med 6.

$$r=3$$

Ekvationen har lösts.

$$r=5 r=3$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Dela -24 med 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Dela -45 med 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Dividera -8, koefficienten för termen x, med 2 för att få -4. Addera sedan kvadraten av -4 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrera -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Addera -15 till 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Faktorisera r^{2}-8r+16. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Förenkla.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$r=5 r=3$$