Lös 3n^2+5n-9=0

$$3 n ^ { 2 } + 5 n - 9 = 0$$

Lös ut n

$$n = \frac{\sqrt{133} - 5}{6} \approx 1,088760432$$

$$n=\frac{-\sqrt{133}-5}{6}\approx -2,755427099$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3n^{2}+5n-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 5 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -9.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+108}}{2\times 3}$$

Addera 25 till 108.

$$n=\frac{-5±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$n=\frac{-5±\sqrt{133}}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-5±\sqrt{133}}{6} när ± är plus. Addera -5 till \sqrt{133}.

$$n=\frac{\sqrt{133}-5}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-5±\sqrt{133}}{6} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{133} från -5.

$$n=\frac{-\sqrt{133}-5}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{\sqrt{133}-5}{6} n=\frac{-\sqrt{133}-5}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+5n-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$3n^{2}+5n-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3n^{2}+5n=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$3n^{2}+5n=9$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3n^{2}+5n}{3}=\frac{9}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n=\frac{9}{3}$$

Dela 9 med 3.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n=3$$

Dividera \frac{5}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}=3+\frac{25}{36}$$

Addera 3 till \frac{25}{36}.

$$n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}=\frac{133}{36}$$

Faktorisera n^{2}+\frac{5}{3}n+\frac{25}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

Förenkla.

$$n+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} n+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

Subtrahera \frac{5}{6} från båda ekvationsled.

$$n=\frac{\sqrt{133}-5}{6} n=\frac{-\sqrt{133}-5}{6}$$