Lös 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Lös ut n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Subtrahera 1141 från båda led.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Subtrahera 1141 från 1 för att få -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Dividera båda led med 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som n^{2}+an+bn-380. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 1.

$$a=-19 b=20$$

Skriv om n^{2}+n-380 som \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Utfaktor n i den första och den 20 i den andra gruppen.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen n-19 genom att använda distributivitet.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Lös n-19=0 och n+20=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=19 n=-20$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Subtrahera 1141 från båda ekvationsled.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Subtraktion av 1141 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Subtrahera 1141 från 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 3 och c med -1140 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrera 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Addera 9 till 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-3±117}{6} när ± är plus. Addera -3 till 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Dela 114 med 6.

$$n=19$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-3±117}{6} när ± är minus. Subtrahera 117 från -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Dela -120 med 6.

$$n=-20$$

Ekvationen har lösts.

$$n=19 n=-20$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Subtrahera 1 från 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Dela 3 med 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Dela 1140 med 3.

$$n^{2}+n=380$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Addera 380 till \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Faktorisera n^{2}+n+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Förenkla.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$n=19 n=-20$$