Lös 3a^2-2geq4[a)

$$3 a ^ { 2 } - 2 \geq 4 [ a )$$

Lös ut a

$$a\in (-\infty,\frac{2-\sqrt{10}}{3}]\cup [\frac{\sqrt{10}+2}{3},\infty)$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera 4a från båda led.

$$3a^{2}-2-4a\geq 0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$3a^{2}-2-4a=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 3 med a, -4 med b och -2 med c i lösningsformeln.

$$a=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Gör beräkningarna.

$$a=\frac{4±2\sqrt{10}}{6}$$

Lös ekvationen a=\frac{4±2\sqrt{10}}{6} när ± är plus och när ± är minus.

$$a=\frac{\sqrt{10}+2}{3} a=\frac{2-\sqrt{10}}{3}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$3\left(a-\frac{\sqrt{10}+2}{3}\right)\left(a-\frac{2-\sqrt{10}}{3}\right)\geq 0$$

För att produkten ska kunna ≥0 måste a-\frac{\sqrt{10}+2}{3} och a-\frac{2-\sqrt{10}}{3} ha både ≤0 eller båda ≥0. Behandla ärendet när a-\frac{\sqrt{10}+2}{3} och a-\frac{2-\sqrt{10}}{3} är ≤0.

$$a-\frac{\sqrt{10}+2}{3}\leq 0 a-\frac{2-\sqrt{10}}{3}\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är a\leq \frac{2-\sqrt{10}}{3}.

$$a\leq \frac{2-\sqrt{10}}{3}$$

Tänk på när a-\frac{\sqrt{10}+2}{3} och a-\frac{2-\sqrt{10}}{3} är ≥0.

$$a-\frac{2-\sqrt{10}}{3}\geq 0 a-\frac{\sqrt{10}+2}{3}\geq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är a\geq \frac{\sqrt{10}+2}{3}.

$$a\geq \frac{\sqrt{10}+2}{3}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$a\leq \frac{2-\sqrt{10}}{3}\text{; }a\geq \frac{\sqrt{10}+2}{3}$$