Lös 3x^2-15x+16=0

$$3 { x }^{ 2 } -15x+16=0$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 3,457427108$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}\approx 1,542572892$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med -15 och c med 16 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Kvadrera -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 16.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-192}}{2\times 3}$$

Addera 225 till -192.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Motsatsen till -15 är 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{15±\sqrt{33}}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} när ± är plus. Addera 15 till \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}+15}{6}$$

Dela 15+\sqrt{33} med 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{15±\sqrt{33}}{6} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{33} från 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{33}}{6}$$

Dela 15-\sqrt{33} med 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-15x+16=0$$

Subtrahera 16 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}-15x+16-16=-16$$

Subtraktion av 16 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}-15x=-16$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}-15x}{3}=-\frac{16}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{3}\right)x=-\frac{16}{3}$$

Dela -15 med 3.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{3}$$

Dividera -5, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{16}{3}+\frac{25}{4}$$

Addera -\frac{16}{3} till \frac{25}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11}{12}$$

Faktorisera x^{2}-5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Addera \frac{5}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}+\frac{5}{2}$$