Lös 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0,833333333+1,518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0,833333333-1,518405597i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 3, b med 5 och c med 9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multiplicera -12 med 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Addera 25 till -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Dra kvadratroten ur -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Multiplicera 2 med 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} när ± är plus. Addera -5 till i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{83} från -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Subtrahera 9 från båda ekvationsled.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Subtraktion av 9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Dividera båda led med 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Division med 3 tar ut multiplikationen med 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Dela -9 med 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Dividera \frac{5}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{5}{6}. Addera sedan kvadraten av \frac{5}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{5}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Addera -3 till \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Subtrahera \frac{5}{6} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$