Lös 3+12x-4x^2=0

$$3 + 12 x - 4 x ^ { 2 } = 0$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}\approx 3,232050808$$

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}\approx -0,232050808$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -4, b med 12 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrera 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera -4 med -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\times 3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 16 med 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+48}}{2\left(-4\right)}$$

Addera 144 till 48.

$$x=\frac{-12±\sqrt{192}}{2\left(-4\right)}$$

Dra kvadratroten ur 192.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplicera 2 med -4.

$$x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} när ± är plus. Addera -12 till 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Dela -12+8\sqrt{3} med -8.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-12±8\sqrt{3}}{-8} när ± är minus. Subtrahera 8\sqrt{3} från -12.

$$x=\frac{-8\sqrt{3}-12}{-8}$$

Dela -12-8\sqrt{3} med -8.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3}{2}-\sqrt{3} x=\sqrt{3}+\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+12x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$-4x^{2}+12x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-4x^{2}+12x=-3$$

Dividera båda led med -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=-\frac{3}{-4}$$

Division med -4 tar ut multiplikationen med -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=-\frac{3}{-4}$$

Dela 12 med -4.

$$x^{2}-3x=-\frac{3}{-4}$$

Dela -3 med -4.

$$x^{2}-3x=\frac{3}{4}$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{3+9}{4}$$

Addera \frac{3}{4} till \frac{9}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=3$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=\sqrt{3} x-\frac{3}{2}=-\sqrt{3}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{3}+\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}-\sqrt{3}$$