Lös 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Lös ut y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 25y^{2}+ay+by-63. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Lösningen är det par som ger Summa -54.

$$a=-75 b=21$$

Skriv om 25y^{2}-54y-63 som \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Utfaktor 25y i den första och den 21 i den andra gruppen.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen y-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Lös y-3=0 och 25y+21=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 25, b med -54 och c med -63 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Kvadrera -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplicera -4 med 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplicera -100 med -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Addera 2916 till 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Dra kvadratroten ur 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Motsatsen till -54 är 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Multiplicera 2 med 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{54±96}{50} när ± är plus. Addera 54 till 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Dela 150 med 50.

$$y=3$$

Lös nu ekvationen y=\frac{54±96}{50} när ± är minus. Subtrahera 96 från 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Minska bråktalet \frac{-42}{50} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Addera 63 till båda ekvationsled.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Subtraktion av -63 från sig självt ger 0 som resultat.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Subtrahera -63 från 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Dividera båda led med 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Division med 25 tar ut multiplikationen med 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Dividera -\frac{54}{25}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{27}{25}. Addera sedan kvadraten av -\frac{27}{25} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{27}{25} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Addera \frac{63}{25} till \frac{729}{625} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Faktorisera y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Addera \frac{27}{25} till båda ekvationsled.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$