Lös 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Lös ut x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 24x^{2}+ax+bx+21. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Lösningen är det par som ger Summa -65.

$$a=-56 b=-9$$

Skriv om 24x^{2}-65x+21 som \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Utfaktor 8x i den första och den -3 i den andra gruppen.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-7 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Lös 3x-7=0 och 8x-3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 24, b med -65 och c med 21 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Kvadrera -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplicera -4 med 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplicera -96 med 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Addera 4225 till -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Dra kvadratroten ur 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Motsatsen till -65 är 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Multiplicera 2 med 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{65±47}{48} när ± är plus. Addera 65 till 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Minska bråktalet \frac{112}{48} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{65±47}{48} när ± är minus. Subtrahera 47 från 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Minska bråktalet \frac{18}{48} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Subtrahera 21 från båda ekvationsled.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Subtraktion av 21 från sig självt ger 0 som resultat.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Dividera båda led med 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Division med 24 tar ut multiplikationen med 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Minska bråktalet \frac{-21}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Dividera -\frac{65}{24}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{65}{48}. Addera sedan kvadraten av -\frac{65}{48} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{65}{48} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Addera -\frac{7}{8} till \frac{4225}{2304} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Addera \frac{65}{48} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$