Lös 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Lös ut y

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 2 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Addera 4 till 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 12.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} när ± är plus. Addera -2 till 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Dela -2+2\sqrt{3} med 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{3} från -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Dela -2-2\sqrt{3} med 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

Dela 2 med 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktorisera y^{2}+y+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Förenkla.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$