Lös 2y^2+1/5-y=3(1/5-y)^2-2

$$2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } - y = 3 ( \frac { 1 } { 5 } - y ) ^ { 2 } - 2$$

Lös ut y

$$y = \frac{\sqrt{209} + 1}{10} \approx 1,545683229$$

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}\approx -1,345683229$$

Steg med lösningsformeln

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3 med \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

Subtrahera 2 från \frac{3}{25} för att få -\frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Subtrahera -\frac{47}{25} från båda led.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y-\left(-\frac{47}{25}\right)=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Motsatsen till -\frac{47}{25} är \frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Lägg till \frac{6}{5}y på båda sidorna.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

Addera \frac{1}{5} och \frac{47}{25} för att få \frac{52}{25}.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}-y+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

Slå ihop -y och \frac{6}{5}y för att få \frac{1}{5}y.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=3y^{2}$$

Subtrahera 3y^{2} från båda led.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=0$$

Slå ihop 2y^{2} och -3y^{2} för att få -y^{2}.

$$-y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y+\frac{52}{25}=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med \frac{1}{5} och c med \frac{52}{25} i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera \frac{1}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}+4\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med \frac{52}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1+208}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Addera \frac{1}{25} till \frac{208}{25} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{209}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur \frac{209}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2} när ± är plus. Addera -\frac{1}{5} till \frac{\sqrt{209}}{5}.

$$y=\frac{\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

Dela \frac{-1+\sqrt{209}}{5} med -2.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2} när ± är minus. Subtrahera \frac{\sqrt{209}}{5} från -\frac{1}{5}.

$$y=\frac{-\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

Dela \frac{-1-\sqrt{209}}{5} med -2.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10} y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Använd binomialsatsen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} för att expandera \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3 med \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

Subtrahera 2 från \frac{3}{25} för att få -\frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Lägg till \frac{6}{5}y på båda sidorna.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{6}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

Slå ihop -y och \frac{6}{5}y för att få \frac{1}{5}y.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

Subtrahera 3y^{2} från båda led.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=-\frac{47}{25}$$

Slå ihop 2y^{2} och -3y^{2} för att få -y^{2}.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}$$

Subtrahera \frac{1}{5} från båda led.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}-\frac{1}{5}$$

Subtrahera \frac{1}{5} från -\frac{47}{25} för att få -\frac{52}{25}.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{52}{25}$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-y^{2}+\frac{1}{5}y}{-1}=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$y^{2}+\frac{\frac{1}{5}}{-1}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Dela \frac{1}{5} med -1.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Dela -\frac{52}{25} med -1.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=\frac{52}{25}$$

Dividera -\frac{1}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{10}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{10} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{52}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{10} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{52}{25}+\frac{1}{100}$$

Addera \frac{52}{25} till \frac{1}{100} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{209}{100}$$

Faktorisera y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} y-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

Addera \frac{1}{10} till båda ekvationsled.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10} y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$