Lös 2x^2-6x+1=0

$$2 x ^ { 2 } - 6 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 3}{2} \approx 2,822875656$$

$$x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}\approx 0,177124344$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-6x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -6 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Kvadrera -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-8}}{2\times 2}$$

Addera 36 till -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 28.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Motsatsen till -6 är 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4} när ± är plus. Addera 6 till 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+6}{4}$$

Dela 6+2\sqrt{7} med 4.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{7}}{4} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{7} från 6.

$$x=\frac{6-2\sqrt{7}}{4}$$

Dela 6-2\sqrt{7} med 4.

$$x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-6x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}-6x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-6x=-1$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-6x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{2}\right)x=-\frac{1}{2}$$

Dela -6 med 2.

$$x^{2}-3x=-\frac{1}{2}$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{4}$$

Addera -\frac{1}{2} till \frac{9}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{7}}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{7}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{7}}{2}$$