Lös 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,75+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0,75-1,198957881i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

Subtrahera -5 från -1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -3 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Kvadrera -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

Addera 9 till -32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -23.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} när ± är plus. Addera 3 till i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{23} från 3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från -5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Dela -4 med 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Dividera -\frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

Addera -2 till \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Addera \frac{3}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$