Lös 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -15 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Addera 225 till 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Motsatsen till -15 är 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} när ± är plus. Addera 15 till \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{233} från 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Subtraktion av -1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Subtrahera -1 från 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Dividera -\frac{15}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{15}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{15}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{15}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Addera \frac{1}{2} till \frac{225}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Addera \frac{15}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$