Lös 2x^2+3x=23

$$2 x ^ { 2 } + 3 x = 23$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{193} - 3}{4} \approx 2,723110997$$

$$x=\frac{-\sqrt{193}-3}{4}\approx -4,223110997$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+3x=23$$

Subtrahera 23 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}+3x-23=23-23$$

Subtraktion av 23 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+3x-23=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 3 och c med -23 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-23\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-23\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-23\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -23.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+184}}{2\times 2}$$

Addera 9 till 184.

$$x=\frac{-3±\sqrt{193}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{193}}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{193}}{4} när ± är plus. Addera -3 till \sqrt{193}.

$$x=\frac{\sqrt{193}-3}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{193}}{4} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{193} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{193}-3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{193}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{193}-3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x=23$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{23}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{23}{2}$$

Dividera \frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{23}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{23}{2}+\frac{9}{16}$$

Addera \frac{23}{2} till \frac{9}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{193}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{193}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{193}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{193}}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{193}}{4}$$

Subtrahera \frac{3}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{193}-3}{4} x=\frac{-\sqrt{193}-3}{4}$$