Lös 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

Lös ut r

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$r=-6$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 2r^{2}+ar+br+54. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Lösningen är det par som ger Summa 21.

$$a=9 b=12$$

Skriv om 2r^{2}+21r+54 som \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right).

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

Utfaktor r i den första och den 6 i den andra gruppen.

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2r+9 genom att använda distributivitet.

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

Lös 2r+9=0 och r+6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 21 och c med 54 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Kvadrera 21.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 54.

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

Addera 441 till -432.

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 9.

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-21±3}{4} när ± är plus. Addera -21 till 3.

$$r=-\frac{18}{4}$$

Minska bråktalet \frac{-18}{4} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$r=-\frac{9}{2}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-21±3}{4} när ± är minus. Subtrahera 3 från -21.

$$r=-\frac{24}{4}$$

Dela -24 med 4.

$$r=-6$$

Ekvationen har lösts.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+21r+54=0$$

Subtrahera 54 från båda ekvationsled.

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

Subtraktion av 54 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2r^{2}+21r=-54$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

Dela -54 med 2.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

Dividera \frac{21}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{21}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{21}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{21}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

Addera -27 till \frac{441}{16}.

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

Faktorisera r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Förenkla.

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

Subtrahera \frac{21}{4} från båda ekvationsled.

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$