Lös 2p^2-3p-18=0

$$2 p ^ { 2 } - 3 p - 18 = 0$$

Lös ut p

$$p = \frac{3 \sqrt{17} + 3}{4} \approx 3,842329219$$

$$p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}\approx -2,342329219$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2p^{2}-3p-18=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med -3 och c med -18 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera -3.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -18.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+144}}{2\times 2}$$

Addera 9 till 144.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{153}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur 153.

$$p=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$p=\frac{3±3\sqrt{17}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4} när ± är plus. Addera 3 till 3\sqrt{17}.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{3±3\sqrt{17}}{4} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{17} från 3.

$$p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4} p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2p^{2}-3p-18=0$$

Addera 18 till båda ekvationsled.

$$2p^{2}-3p-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Subtraktion av -18 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2p^{2}-3p=-\left(-18\right)$$

Subtrahera -18 från 0.

$$2p^{2}-3p=18$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2p^{2}-3p}{2}=\frac{18}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=\frac{18}{2}$$

Dela 18 med 2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=9$$

Dividera -\frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=9+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=9+\frac{9}{16}$$

Addera 9 till \frac{9}{16}.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{153}{16}$$

Faktorisera p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{153}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{153}{16}}$$

Förenkla.

$$p-\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{17}}{4} p-\frac{3}{4}=-\frac{3\sqrt{17}}{4}$$

Addera \frac{3}{4} till båda ekvationsled.

$$p=\frac{3\sqrt{17}+3}{4} p=\frac{3-3\sqrt{17}}{4}$$