Lös 2p^2+p-5=0

$$2 p ^ { 2 } + p - 5 = 0$$

Lös ut p

$$p = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1,350781059$$

$$p=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1,850781059$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2p^{2}+p-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 1 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrera 1.

$$p=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$p=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med -5.

$$p=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

Addera 1 till 40.

$$p=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$p=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} när ± är plus. Addera -1 till \sqrt{41}.

$$p=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{41} från -1.

$$p=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$p=\frac{\sqrt{41}-1}{4} p=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2p^{2}+p-5=0$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$2p^{2}+p-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2p^{2}+p=-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från 0.

$$2p^{2}+p=5$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2p^{2}+p}{2}=\frac{5}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$p^{2}+\frac{1}{2}p=\frac{5}{2}$$

Dividera \frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$p^{2}+\frac{1}{2}p+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$p^{2}+\frac{1}{2}p+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

Addera \frac{5}{2} till \frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$p^{2}+\frac{1}{2}p+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Faktorisera p^{2}+\frac{1}{2}p+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(p+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(p+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Förenkla.

$$p+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} p+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Subtrahera \frac{1}{4} från båda ekvationsled.

$$p=\frac{\sqrt{41}-1}{4} p=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$