Lös 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 2, b med 1 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Multiplicera -4 med 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Multiplicera -8 med 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Addera 1 till -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Dra kvadratroten ur -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Multiplicera 2 med 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} när ± är plus. Addera -1 till i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{23} från -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$2x^{2}+x=-3$$

Dividera båda led med 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

Division med 2 tar ut multiplikationen med 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Dividera \frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Addera -\frac{3}{2} till \frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Subtrahera \frac{1}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$