Lös 18x+11y=522text{and}10x=112-16y

$$18 x + 11 y = 522 \text { and } 10 x = 112 - 16 y$$

Lös ut x, y

$$x=40$$

$$y=-18$$

Steg med substitution

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 16y på båda sidorna.

$$10x+16y=112$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$18x+11y=522$$

Subtrahera 11y från båda ekvationsled.

$$18x=-11y+522$$

Dividera båda led med 18.

$$x=\frac{1}{18}\left(-11y+522\right)$$

Multiplicera \frac{1}{18} med -11y+522.

$$x=-\frac{11}{18}y+29$$

Ersätt x med -\frac{11y}{18}+29 i den andra ekvationen, 10x+16y=112.

$$10\left(-\frac{11}{18}y+29\right)+16y=112$$

Multiplicera 10 med -\frac{11y}{18}+29.

$$-\frac{55}{9}y+290+16y=112$$

Addera -\frac{55y}{9} till 16y.

$$\frac{89}{9}y+290=112$$

Subtrahera 290 från båda ekvationsled.

$$\frac{89}{9}y=-178$$

Dela båda ekvationsled med \frac{89}{9}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$y=-18$$

Ersätt y med -18 i x=-\frac{11}{18}y+29. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{11}{18}\left(-18\right)+29$$

Multiplicera -\frac{11}{18} med -18.

$$x=11+29$$

Addera 29 till 11.

$$x=40$$

Systemet har lösts.

$$x=40,y=-18$$

Steg med matriser

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 16y på båda sidorna.

$$10x+16y=112$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&11\\10&16\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{18\times 16-11\times 10}&-\frac{11}{18\times 16-11\times 10}\\-\frac{10}{18\times 16-11\times 10}&\frac{18}{18\times 16-11\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}&-\frac{11}{178}\\-\frac{5}{89}&\frac{9}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}522\\112\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{89}\times 522-\frac{11}{178}\times 112\\-\frac{5}{89}\times 522+\frac{9}{89}\times 112\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\-18\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=40,y=-18$$

Steg med eliminering

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 16y på båda sidorna.

$$10x+16y=112$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$18x+11y=522,10x+16y=112$$

Gör 18x och 10x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 10 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 18.

$$10\times 18x+10\times 11y=10\times 522,18\times 10x+18\times 16y=18\times 112$$

Förenkla.

$$180x+110y=5220,180x+288y=2016$$

Subtrahera 180x+288y=2016 från 180x+110y=5220 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$180x-180x+110y-288y=5220-2016$$

Addera 180x till -180x. Termerna 180x och -180x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$110y-288y=5220-2016$$

Addera 110y till -288y.

$$-178y=5220-2016$$

Addera 5220 till -2016.

$$-178y=3204$$

Dividera båda led med -178.

$$y=-18$$

Ersätt y med -18 i 10x+16y=112. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$10x+16\left(-18\right)=112$$

Multiplicera 16 med -18.

$$10x-288=112$$

Addera 288 till båda ekvationsled.

$$10x=400$$

Dividera båda led med 10.

$$x=40$$

Systemet har lösts.

$$x=40,y=-18$$