Lös 18x^2-27x+4=0

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

Lös ut x

$$x=\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 18x^{2}+ax+bx+4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

Lösningen är det par som ger Summa -27.

$$a=-24 b=-3$$

Skriv om 18x^{2}-27x+4 som \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Utfaktor 6x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-4 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

Lös 3x-4=0 och 6x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 18, b med -27 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Kvadrera -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Multiplicera -4 med 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

Multiplicera -72 med 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

Addera 729 till -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Dra kvadratroten ur 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

Motsatsen till -27 är 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

Multiplicera 2 med 18.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{27±21}{36} när ± är plus. Addera 27 till 21.

$$x=\frac{48}{36}$$

Minska bråktalet \frac{48}{36} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 12.

$$x=\frac{4}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{27±21}{36} när ± är minus. Subtrahera 21 från 27.

$$x=\frac{6}{36}$$

Minska bråktalet \frac{6}{36} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=\frac{1}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$18x^{2}-27x=-4$$

Dividera båda led med 18.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

Division med 18 tar ut multiplikationen med 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

Minska bråktalet \frac{-27}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 9.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

Minska bråktalet \frac{-4}{18} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

Dividera -\frac{3}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

Addera -\frac{2}{9} till \frac{9}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

Addera \frac{3}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$