Lös 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 16x^{2}+ax+bx-3. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Lösningen är det par som ger Summa 8.

$$a=-4 b=12$$

Skriv om 16x^{2}+8x-3 som \left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Utfaktor 4x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 4x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Lös 4x-1=0 och 4x+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 16, b med 8 och c med -3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrera 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicera -4 med 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicera -64 med -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Addera 64 till 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Dra kvadratroten ur 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Multiplicera 2 med 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-8±16}{32} när ± är plus. Addera -8 till 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Minska bråktalet \frac{8}{32} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-8±16}{32} när ± är minus. Subtrahera 16 från -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Minska bråktalet \frac{-24}{32} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Subtraktion av -3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Subtrahera -3 från 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Dividera båda led med 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

Division med 16 tar ut multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Minska bråktalet \frac{8}{16} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Dividera \frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Addera \frac{3}{16} till \frac{1}{16} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{4} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$