Lös 12x^2+17x-7=0

$$12 x ^ { 2 } + 17 x - 7 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 12x^{2}+ax+bx-7. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=17 ab=12\left(-7\right)=-84$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -84.

$$-1,84 -2,42 -3,28 -4,21 -6,14 -7,12$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+84=83 -2+42=40 -3+28=25 -4+21=17 -6+14=8 -7+12=5$$

Lösningen är det par som ger Summa 17.

$$a=-4 b=21$$

Skriv om 12x^{2}+17x-7 som \left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right).

$$\left(12x^{2}-4x\right)+\left(21x-7\right)$$

Utfaktor 4x i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$4x\left(3x-1\right)+7\left(3x-1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 3x-1 genom att använda distributivitet.

$$\left(3x-1\right)\left(4x+7\right)$$

Lös 3x-1=0 och 4x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med 17 och c med -7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Kvadrera 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-7\right)}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med -7.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+336}}{2\times 12}$$

Addera 289 till 336.

$$x=\frac{-17±\sqrt{625}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur 625.

$$x=\frac{-17±25}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=\frac{-17±25}{24}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-17±25}{24} när ± är plus. Addera -17 till 25.

$$x=\frac{8}{24}$$

Minska bråktalet \frac{8}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 8.

$$x=\frac{1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-17±25}{24} när ± är minus. Subtrahera 25 från -17.

$$x=-\frac{42}{24}$$

Minska bråktalet \frac{-42}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 6.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+17x-7=0$$

Addera 7 till båda ekvationsled.

$$12x^{2}+17x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Subtraktion av -7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12x^{2}+17x=-\left(-7\right)$$

Subtrahera -7 från 0.

$$12x^{2}+17x=7$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}+17x}{12}=\frac{7}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x=\frac{7}{12}$$

Dividera \frac{17}{12}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{17}{24}. Addera sedan kvadraten av \frac{17}{24} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{7}{12}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{17}{24} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{7}{12}+\frac{289}{576}$$

Addera \frac{7}{12} till \frac{289}{576} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}=\frac{625}{576}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{17}{12}x+\frac{289}{576}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{17}{24}=\frac{25}{24} x+\frac{17}{24}=-\frac{25}{24}$$

Subtrahera \frac{17}{24} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{7}{4}$$