Lös 12x^2-12^2x+9>0

$$12 { x }^{ 2 } - { 12 }^{ 2 } x+9 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\cup \left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6,\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Beräkna 12 upphöjt till 2 och få 144.

$$12x^{2}-144x+9>0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-144x+9=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 12 med a, -144 med b och 9 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-144\right)±\sqrt{\left(-144\right)^{2}-4\times 12\times 9}}{2\times 12}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24}$$

Lös ekvationen x=\frac{144±12\sqrt{141}}{24} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{141}}{2}+6 x=-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$12\left(x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) och x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) både negativa eller båda positiva. Tänk på när x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) och x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) både är negativa.

$$x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0 x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Överväg om x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) och x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right) båda är positiva.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{141}}{2}+6\right)>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6.

$$x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x<-\frac{\sqrt{141}}{2}+6\text{; }x>\frac{\sqrt{141}}{2}+6$$