Lös 12x^2+36x+27=0

$$12 { x }^{ 2 } +36x+27=0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Dividera båda led med 3.

$$4x^{2}+12x+9=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som 4x^{2}+ax+bx+9. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=12 ab=4\times 9=36$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Lösningen är det par som ger Summa 12.

$$a=6 b=6$$

Skriv om 4x^{2}+12x+9 som \left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right).

$$\left(4x^{2}+6x\right)+\left(6x+9\right)$$

Utfaktor 2x i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$2x\left(2x+3\right)+3\left(2x+3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 2x+3 genom att använda distributivitet.

$$\left(2x+3\right)\left(2x+3\right)$$

Skriv om som en binomkvadrat.

$$\left(2x+3\right)^{2}$$

Lös 2x+3=0 för att hitta ekvationslösning.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 12, b med 36 och c med 27 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Kvadrera 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\times 27}}{2\times 12}$$

Multiplicera -4 med 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\times 27}}{2\times 12}$$

Multiplicera -48 med 27.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-1296}}{2\times 12}$$

Addera 1296 till -1296.

$$x=\frac{-36±\sqrt{0}}{2\times 12}$$

Dra kvadratroten ur 0.

$$x=-\frac{36}{2\times 12}$$

Multiplicera 2 med 12.

$$x=-\frac{36}{24}$$

Minska bråktalet \frac{-36}{24} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 12.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x+27=0$$

Subtrahera 27 från båda ekvationsled.

$$12x^{2}+36x+27-27=-27$$

Subtraktion av 27 från sig självt ger 0 som resultat.

$$12x^{2}+36x=-27$$

Dividera båda led med 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=-\frac{27}{12}$$

Division med 12 tar ut multiplikationen med 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=-\frac{27}{12}$$

Dela 36 med 12.

$$x^{2}+3x=-\frac{27}{12}$$

Minska bråktalet \frac{-27}{12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{4}$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Addera -\frac{9}{4} till \frac{9}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=0$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=0 x+\frac{3}{2}=0$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=-\frac{3}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Ekvationen har lösts. Lösningarna är samma.

$$x=-\frac{3}{2}$$