Lös 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 11 med a, -9 med b och 1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Lös ekvationen x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} och x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} både negativa eller båda positiva. Tänk på när x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} och x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} både är negativa.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Överväg om x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} och x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} båda är positiva.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$