Lös 1000x^2+2x+69=0

$$1000 { x }^{ 2 } +2x+69=0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}\approx -0,001+0,262676607i$$

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}\approx -0,001-0,262676607i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1000, b med 2 och c med 69 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

Multiplicera -4 med 1000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4000\times 69}}{2\times 1000}$$

Multiplicera -4000 med 69.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-276000}}{2\times 1000}$$

Addera 4 till -276000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-275996}}{2\times 1000}$$

Dra kvadratroten ur -275996.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2\times 1000}$$

Multiplicera 2 med 1000.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000} när ± är plus. Addera -2 till 2i\sqrt{68999}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{68999}i}{2000}$$

Dela -2+2i\sqrt{68999} med 2000.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{68999} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{68999}i-2}{2000}$$

Dela -2-2i\sqrt{68999} med 2000.

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

Subtrahera 69 från båda ekvationsled.

$$1000x^{2}+2x+69-69=-69$$

Subtraktion av 69 från sig självt ger 0 som resultat.

$$1000x^{2}+2x=-69$$

Dividera båda led med 1000.

$$\frac{1000x^{2}+2x}{1000}=-\frac{69}{1000}$$

Division med 1000 tar ut multiplikationen med 1000.

$$x^{2}+\frac{2}{1000}x=-\frac{69}{1000}$$

Minska bråktalet \frac{2}{1000} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x=-\frac{69}{1000}$$

Dividera \frac{1}{500}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{1000}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{1000} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{69}{1000}+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{1000} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{69}{1000}+\frac{1}{1000000}$$

Addera -\frac{69}{1000} till \frac{1}{1000000} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{68999}{1000000}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{68999}{1000000}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{68999}{1000000}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{1000}=\frac{\sqrt{68999}i}{1000} x+\frac{1}{1000}=-\frac{\sqrt{68999}i}{1000}$$

Subtrahera \frac{1}{1000} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$