Lös 10n^2+53n+36

$$10 n ^ { 2 } + 53 n + 36$$

Faktorisera

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$

Lösningssteg

Faktorisera uttrycket genom gruppering. Först måste uttrycket skrivas om som 10n^{2}+an+bn+36. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=53 ab=10\times 36=360$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Lösningen är det par som ger Summa 53.

$$a=8 b=45$$

Skriv om 10n^{2}+53n+36 som \left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right).

$$\left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right)$$

Utfaktor 2n i den första och den 9 i den andra gruppen.

$$2n\left(5n+4\right)+9\left(5n+4\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 5n+4 genom att använda distributivitet.

$$\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Steg med lösningsformeln

Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$10n^{2}+53n+36=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$n=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Kvadrera 53.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Multiplicera -4 med 10.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-40\times 36}}{2\times 10}$$

Multiplicera -40 med 36.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-1440}}{2\times 10}$$

Addera 2809 till -1440.

$$n=\frac{-53±\sqrt{1369}}{2\times 10}$$

Dra kvadratroten ur 1369.

$$n=\frac{-53±37}{2\times 10}$$

Multiplicera 2 med 10.

$$n=\frac{-53±37}{20}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-53±37}{20} när ± är plus. Addera -53 till 37.

$$n=-\frac{16}{20}$$

Minska bråktalet \frac{-16}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 4.

$$n=-\frac{4}{5}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-53±37}{20} när ± är minus. Subtrahera 37 från -53.

$$n=-\frac{90}{20}$$

Minska bråktalet \frac{-90}{20} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 10.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Faktorisera det ursprungliga uttrycket med ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Ersätt x_{1} med -\frac{4}{5} och x_{2} med -\frac{9}{2}.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Förenkla alla uttryck på formen p-\left(-q\right) till p+q.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n+\frac{4}{5}\right)\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Addera \frac{4}{5} till n genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Addera \frac{9}{2} till n genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\times \frac{2n+9}{2}$$

Multiplicera \frac{5n+4}{5} med \frac{2n+9}{2} genom att multiplicera täljare med täljare och nämnare med nämnare. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{5\times 2}$$

Multiplicera 5 med 2.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{10}$$

Tar ut den största gemensamma faktorn 10 i 10 och 10.

$$10n^{2}+53n+36=\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Beräkna

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$