Lös -3x^2-2x+5=0

$$-3 { x }^{ 2 } -2x+5 = 0$$

Lös ut x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -3x^{2}+ax+bx+5. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-2 ab=-3\times 5=-15$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -15.

$$1,-15 3,-5$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Lösningen är det par som ger Summa -2.

$$a=3 b=-5$$

Skriv om -3x^{2}-2x+5 som \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 5 i den andra gruppen.

$$3x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+5\right)$$

Lös -x+1=0 och 3x+5=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med -2 och c med 5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+12\times 5}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+60}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 4 till 60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{64}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±8}{2\left(-3\right)}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±8}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{2±8}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±8}{-6} när ± är plus. Addera 2 till 8.

$$x=\frac{10}{-6}$$

Minska bråktalet \frac{10}{-6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±8}{-6} när ± är minus. Subtrahera 8 från 2.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dela -6 med -6.

$$x=1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{5}{3} x=1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-2x+5=0$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$-3x^{2}-2x+5-5=-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}-2x=-5$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}-2x}{-3}=-\frac{5}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-3}\right)x=-\frac{5}{-3}$$

Dela -2 med -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{-3}$$

Dela -5 med -3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$$

Dividera \frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$$

Addera \frac{5}{3} till \frac{1}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{9}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{4}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{4}{3}$$

Subtrahera \frac{1}{3} från båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{5}{3}$$