Lös -3x^2+16x+128=0

$$-3 { x }^{ 2 } +16x+128=0$$

Lös ut x

$$x = \frac{8 \sqrt{7} + 8}{3} \approx 9,722003496$$

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}\approx -4,388670163$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 16 och c med 128 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-3\right)\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+12\times 128}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med 128.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+1536}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 256 till 1536.

$$x=\frac{-16±\sqrt{1792}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1792.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} när ± är plus. Addera -16 till 16\sqrt{7}.

$$x=\frac{16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Dela -16+16\sqrt{7} med -6.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-16±16\sqrt{7}}{-6} när ± är minus. Subtrahera 16\sqrt{7} från -16.

$$x=\frac{-16\sqrt{7}-16}{-6}$$

Dela -16-16\sqrt{7} med -6.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3} x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+16x+128=0$$

Subtrahera 128 från båda ekvationsled.

$$-3x^{2}+16x+128-128=-128$$

Subtraktion av 128 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3x^{2}+16x=-128$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+16x}{-3}=-\frac{128}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{16}{-3}x=-\frac{128}{-3}$$

Dela 16 med -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{128}{-3}$$

Dela -128 med -3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=\frac{128}{3}$$

Dividera -\frac{16}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{8}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{8}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{128}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{8}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{128}{3}+\frac{64}{9}$$

Addera \frac{128}{3} till \frac{64}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{448}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{448}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{448}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{8\sqrt{7}}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{8\sqrt{7}}{3}$$

Addera \frac{8}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+8}{3} x=\frac{8-8\sqrt{7}}{3}$$