Lös -3r^2+90r=93

$$- 3 r ^ { 2 } + 90 r = 93$$

Lös ut r

$$r=\sqrt{194}+15\approx 28,928388277$$

$$r=15-\sqrt{194}\approx 1,071611723$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Subtrahera 93 från båda ekvationsled.

$$-3r^{2}+90r-93=93-93$$

Subtraktion av 93 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-3r^{2}+90r-93=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 90 och c med -93 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 90.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-4\left(-3\right)\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100+12\left(-93\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -93.

$$r=\frac{-90±\sqrt{8100-1116}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 8100 till -1116.

$$r=\frac{-90±\sqrt{6984}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 6984.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6} när ± är plus. Addera -90 till 6\sqrt{194}.

$$r=\frac{6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Dela -90+6\sqrt{194} med -6.

$$r=15-\sqrt{194}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{-90±6\sqrt{194}}{-6} när ± är minus. Subtrahera 6\sqrt{194} från -90.

$$r=\frac{-6\sqrt{194}-90}{-6}$$

Dela -90-6\sqrt{194} med -6.

$$r=\sqrt{194}+15$$

Ekvationen har lösts.

$$r=15-\sqrt{194} r=\sqrt{194}+15$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3r^{2}+90r=93$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3r^{2}+90r}{-3}=\frac{93}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$r^{2}+\frac{90}{-3}r=\frac{93}{-3}$$

Dela 90 med -3.

$$r^{2}-30r=\frac{93}{-3}$$

Dela 93 med -3.

$$r^{2}-30r=-31$$

Dividera -30, koefficienten för termen x, med 2 för att få -15. Addera sedan kvadraten av -15 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$r^{2}-30r+\left(-15\right)^{2}=-31+\left(-15\right)^{2}$$

Kvadrera -15.

$$r^{2}-30r+225=-31+225$$

Addera -31 till 225.

$$r^{2}-30r+225=194$$

Faktorisera r^{2}-30r+225. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(r-15\right)^{2}=194$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(r-15\right)^{2}}=\sqrt{194}$$

Förenkla.

$$r-15=\sqrt{194} r-15=-\sqrt{194}$$

Addera 15 till båda ekvationsled.

$$r=\sqrt{194}+15 r=15-\sqrt{194}$$