Lös -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3,283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2,283882181$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -2, b med 2 och c med 15 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 8 med 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

Addera 4 till 120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

Dra kvadratroten ur 124.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 2 med -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} när ± är plus. Addera -2 till 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Dela -2+2\sqrt{31} med -4.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{31} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

Dela -2-2\sqrt{31} med -4.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

Subtrahera 15 från båda ekvationsled.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

Subtraktion av 15 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

Dividera båda led med -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

Division med -2 tar ut multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

Dela 2 med -2.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

Dela -15 med -2.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

Addera \frac{15}{2} till \frac{1}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$