Lös (1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10,630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10,630145813i$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera båda ekvationsled med 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2 med 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Uttryck 2\times \frac{x}{2} som ett enda bråktal.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Förkorta 2 och 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av 2+x med varje term av 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Slå ihop -400x och 1000x för att få 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 1000 med 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Addera 2000 och 1000 för att få 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Slå ihop 600x och 1000x för att få 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Subtrahera 28800 från båda led.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

Subtrahera 28800 från 3000 för att få -25800.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -200, b med 1600 och c med -25800 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Kvadrera 1600.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Multiplicera -4 med -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

Multiplicera 800 med -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

Addera 2560000 till -20640000.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

Dra kvadratroten ur -18080000.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

Multiplicera 2 med -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} när ± är plus. Addera -1600 till 400i\sqrt{113}.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

Dela -1600+400i\sqrt{113} med -400.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} när ± är minus. Subtrahera 400i\sqrt{113} från -1600.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

Dela -1600-400i\sqrt{113} med -400.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

Steg för kvadratkomplettering

Multiplicera båda ekvationsled med 2.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 2 med 1+\frac{x}{2}.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Uttryck 2\times \frac{x}{2} som ett enda bråktal.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Förkorta 2 och 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av 2+x med varje term av 1000-200x.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Slå ihop -400x och 1000x för att få 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 1000 med 1+x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

Addera 2000 och 1000 för att få 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

Slå ihop 600x och 1000x för att få 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

Subtrahera 3000 från båda led.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

Subtrahera 3000 från 28800 för att få 25800.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

Dividera båda led med -200.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

Division med -200 tar ut multiplikationen med -200.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

Dela 1600 med -200.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

Dela 25800 med -200.

$$x^{2}-8x=-129$$

Dividera -8, koefficienten för termen x, med 2 för att få -4. Addera sedan kvadraten av -4 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

Kvadrera -4.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

Addera -129 till 16.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

Faktorisera x^{2}-8x+16. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

Förenkla.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$